Somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique

Propriété

Soit \((v_n)\) une suite géométrique de raison \(q\neq1\) et de premier terme \(v_0\). La somme \(S\) de \(n\) termes consécutifs de la suite \((v_n)\) est donnée par :

\(\boxed{S=\text{premier terme de la somme} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes dans la somme}}}{1-q}}\)\(\)

Exemple

Considérons \((v_n)\) la suite géométrique de raison \(3\) et de premier terme \(v_0=1\).
On cherche à calculer la somme \(S\) des termes allant de \(v_4\) à \(v_{10}\) inclus, soit \(7\) termes.

\(S=\text{premier terme de la somme} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes dans la somme}}}{1-q}=v_4\times \dfrac{1-3^{7}}{1-3}\)\(\)
Or, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=v_0\times q^n=1\times3^n\) et on en déduit \(v_4=1\times3^4=81\).
Ainsi, \(S=81\times \dfrac{1-3^{7}}{1-3}=88~533\).